随着中国国力的上升，人民生活水平的提高，坐飞机出国旅游已经不是一件稀罕的事情。在长途飞行中，飞机上除了播放一些文艺节目外，也会不时显示出飞机的位置和已经飞过的路线。如果留意一下这些飞行路线，就会发现一个“奇怪”的现象：飞机好像并不是沿着最短路线飞，而是在“绕着”飞。
比如从美国的洛杉矶经过韩国的仁川中转后，飞回中国的上海，就是这样“绕着”飞的（见在飞机上实拍的照片）。洛杉矶的纬度是北纬34度03分，仁川和上海的纬度和洛杉矶差不多，分别是北纬37度28分和31度20分。在想象中，从洛杉矶飞向仁川应该基本上是往西飞，即基本上是沿着北纬34度到37度的这个区带往亚洲飞。在地图上，飞行路线应该基本上是一条直线（图中的红线）。
但是飞机的实际飞行路线却不是这样。飞机从洛杉矶起飞后，并不往西飞，而是沿着北美洲的海岸线朝西北方向飞。到了白令海峡以后，才转向正西，然后又转向西南方向飞，从堪察加半岛附近飞过，再飞向仁川（图中的黄线）。很明显，飞机是在地图上绕了一个大圈子。
现在汽油的价格这么高，航空公司为了节省飞行成本，想尽了一切办法。但是它们为什么不选择最短的路线飞呢？多飞这么多里程，要多烧多少汽油啊！
但是在实际上，飞机是沿着最短的路线飞行的。要是飞机真的是基本上沿着纬度线一直向西飞，即沿着地图上洛杉矶和仁川之间的直接连线飞，路程反而更长。
你也许会觉得奇怪：这怎么可能呢？问题就出在地图上。我们平时所用的世界地图并不能准确地反映出地球表面各个点之间的空间关系，而是经过变形的。所以在插图中看见的“绕弯”的路线，其实是一种假象。你要是去看地球仪，就会发现洛杉矶和仁川之间的最短路线应该是在地球仪上这两个城市之间拉一根绷紧的橡皮筋的途径，与插图中飞机走的路线基本相符，而不是沿着34到37度的纬线走的。那样走反而更远。这是因为：
球面不能展成平面而不变形
从几何上讲，地球表面上两点之间的最短距离应该是通过地球球心和地表两点这三个点决定的平面与地球表面的交界线（在这里假设地球是一个完美的球形）。而沿着纬线的平面，除了在赤道（纬度为零）外，都不通过地心，因此这个平面与地球表面的交界线就不会是最短距离。
地图变形的原因就在于，地球的表面是一个球面（三维），而我们平时使用的地图是一个平面（二维）。球面是没有办法展平为平面而不变形的。你只要剥下一个广柑的皮（尽量剥成一片），把它放在桌上，你就会发现这些皮不能被展开成一个平面。
不是说所有的曲面都不能变成平面。比如把吸果汁的管子纵向剪开，就可以展成一个平面。圆锥形的表面也可以展成平面。在这里，曲面只在一个方向上“拐弯”，在另一个方向上仍然保留有直线。如果曲面在各个方向上都“拐弯”，像球面那样，就没有办法展为平面了。
但是只有平面的地图用起来才方便。那怎么办呢？为了解决这个问题，人们使用了各种投影方法。一种办法就是利用圆筒能展为平面的原理，把地球“装”在一个圆筒中，地球的赤道和圆筒相接触。再想象圆筒的中轴上有一条光源，光线只能朝垂直于中轴的方向照射。把地球表面上的各点投影到圆柱上，再把圆筒展为平面，就得到了二维的平面地图。
很容易看出，这样得到的地图在赤道附近变形最小。离赤道越远，变形越大。在北极和南极，在地球上本来是一个点，现在却要变成一个与赤道长度相等的直线，变形无限大（从零到某个固定数值）。纬度很高的国家，比如加拿大，俄国，冰岛，就在东西方向上被极大地拉长了。
而且这样投影，越往北极和南极，纬度之间的距离也被压缩得越厉害。为了保持纬度之间的距离不变，可以把经线和纬线都画成垂直相交，距离相等的直线。这样在纬度上没有变形，但是在经度上被拉伸了。
这就像被纵向切成一瓣瓣的西瓜，西瓜皮中间最宽，而两头是尖的。把这些西瓜皮排成一排，只要把西瓜切的瓣数足够多，就可以基本上把这些西瓜皮排成一个平面。但是这个平面只在赤道线上是连续的，上下都由“锯齿”组成。如果把“锯齿”都横向扩展到赤道线那么宽，就可以变成一个连续的长方形的平面。这样得到的地图，在极地附近也有非常大的变形。
另一个办法是让西瓜皮锯齿横向变形，彼此并到一起，它们的尖也合在一起，使北极和南极再次成为一个点，地图的其它点也相应地靠拢，这样也可以得到一个连续的近似椭圆的平面地图。这样得到的地图在经度方向上没有拉伸，纬度方向上也没有压缩。但是在地图的边缘，形状变化很大。本来是南北方向的直线变成很弯的曲线了。
为了避免这些严重的缺点（极地无限拉伸和边缘极度变形），可以采取一个折中，即把西瓜皮的“尖”也扩展一点，再把这些锯齿横向合并。这样得到的地图上下方不是一点，而是比赤道短一些的线，整个地图像一个鼓从旁边看的图形。这样在高纬度区域仍然有拉伸，但是拉伸的程度小一些，而且在边缘地区变形也比较小。我们现在使用的世界地图，基本上就是这样得到的。
由于在高纬度地带仍然有拉伸，而且纬度越高，拉伸越厉害。像俄国和加拿大的版图就被人为地拉长了，显得这两个国家格外巨大。飞机在这样的地图上显示出来的飞行路线也是被拉伸了的，也就是被人为地夸大了。
同理，我们在大洋彼岸遥望祖国，比如从洛杉矶的海边遥望上海，也不是想象的那样应该向西沿着纬线望，而是应该向西北方向望，那才是到上海的最短距离。
球面与平面的关系对我们的生活和工作的影响
球面与平面之间的相互不能转换性也影响到我们的生活和工作。比如一些火箭和飞机的头部是做成圆锥形的，以减少空气阻力。这样的形状可以方便地用金属板卷曲而成，因而加工起来简单方便。但是圆锥形并不是最好的形状。我国刚刚成功发射的“天宫一号”所使用的整流罩，顶部的形状就采用了冯·卡门曲线以最大限度地降低空气阻力。这样得到的球面是不能展开为平面的。这里人们利用金属的延展性，即可以变形。如果有正确的模子，就可以冲压成型，即把平面变形为球面。许多球面和曲面的产品就是经过金属板的冲压变形而成的。但是模子的加工是一个不容易的任务。另一个办法是铸造，直接成型，绕过平面变曲面的问题。但是铸造也需要模子。
我们的头基本上是圆球形的，用一块布就无法不起皱褶地做成一顶帽子。一种办法是用多条西瓜皮形状的布连成一顶帽子，这就是我们早些年见到的“瓜皮帽”。用布做的各种形状的帽子，都是由多块布拼接而成的。同样，用牛皮做篮球也要用多块皮子拼接起来。因为布和牛皮的延展性没有金属好，变形有限。用毛线织帽子就可以通过加针和减针改变形状，绕过平面和球面之间变换难的问题。
我们身体的形状是很复杂的，也很难展为平面。所以要用延展性不好的布料做衣服也不是一件容易的事情。特别是内衣，用延展性差的布料制作，必然会出现令人不舒服的皱褶。人们喜欢穿针织的内衣，就是因为它们的延展性好，比布料更加熨贴。就是外面的衣服合身了，能够容易地把衣服叠起来（再变为平面）也是不容易的。在这里剪裁的水平就有高下之分。所以裁缝也不是那么容易做的。名牌衣服之所以卖得贵，原因之一也是剪裁的水平高。
人的科学技术水平可以不断进步，许多原来没有的东西可以被创造出来；原来不可能的事情，经过努力也可以办到。但是一些基本的规律却是不能违反的，它们所带来的限制也是难以完全克服的。球面和平面的关系就是一个例子。